Matemáticas

CARACTERÍSTICAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
En nuestra vida cotidiana utilizamos constantemente los números. ¿Te imaginas un mundo sin números? Piensa por un momento cómo viviríamos si no existieran los números. Los utilizamos para contar, para expresar el resultado de una medida, para realizar cálculos... Incluso utilizamos números para codificar información de lo más diversa: textos, imágenes, sonidos, videos...

A lo largo de la historia, las civilizaciones utilizaron diferentes sistemas de numeración. De algunos de ellos, como el romano o el sexagesimal de la antigua Babilonia, todavía quedan algunos vestigios en nuestra sociedad actual, todavía se escribe en algunos casos el año MMX o la hora 18:56, por ejemplo.

Nuestro sistema de numeración actual es un sistema posicional y decimal.

Es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 7 del número 757 no vale lo mismo que el segundo 7. El valor del segundo 7 es siete unidades, pero el valor del primer 7 es de 700 unidades.


Decimos que es decimal porque diez unidades de un orden equivalen a una unidad del orden superior: diez unidades son una decena, diez decenas son una centena, diez centenas forman un millar, etc.

Más teoría
Valor posicional
Vídeo explicativo

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS
Podemos descomponer los números como suma de sus diferentes órdenes:
372902 = 3 CM + 7 DM + 2 UM + 9 C + 2 U

O como suma de sus valores posicionales:
372902 = 300000 + 70000 + 2000 + 900 + 2

*Cuando una cifra es cero no se escribe en ninguna de las dos formas (se sobreentiende que si sumamos cero a algo no le aporta ningún valor).

Explicación y práctica
Comparar números


REDONDEO O APROXIMACIÓN DE UN NÚMERO
Se trata de reemplazar un número por otro que indique aproximadamente la cantidad expresada.

Reglas de redondeo. Identifica la posición que vas a redondear:

- Si el dígito de la derecha es entre 0-4, el número que estás aproximando se queda igual. Los dígitos de la
derecha se cambian a ceros. Los dígitos de la izquierda se
quedan igual.
Ejemplo: Si aproximamos el número 13523 a las decenas nos quedaríamos con 13520, ya que la cifra de las unidades es un 3.

- Si el número de la derecha es 5-9, se le suma 1 al número que deseo redondear. Los dígitos de la izquierda se quedan igual y los de la derecha se cambian a ceros.
Ejemplo: Si aproximamos el número 13523 a las unidades de millar nos quedaríamos con 14000, ya que la cifra de las centenas es un 5.

Vídeo explicativo
Práctica
Ejercicios de redondeo
Más ejercicios


OPERACIONES COMBINADAS
Si tenemos que calcular varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, etc.) para obtener un único resultado, decimos que se trata de una operación combinada, por ejemplo:
3 × (6 + 2) + (5 − 2) : 3
Para resolver estas operaciones debemos proceder solucionándolas por orden, de la siguiente manera:
1. Resolvemos las operaciones que hay dentro de los paréntesis.
2. Resolvemos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparezcan, de izquierda a derecha.
3. Resolvemos las sumas y las restas en el orden en que aparezcan, de izquierda a derecha.
3 × (6 + 2) + (5 − 2) : 3 = 3 × 8 + 3 : 3 = 24 + 1 = 25

Vamos a ver otro ejemplo de operaciones combinadas paso a paso: 6 + (8 – 3) × 2
- Primero hacemos el paréntesis: 8 – 3 = 5
- De esta manera, nos queda: 6 + 5 × 2
- Ahora hacemos la multiplicación: 5 × 2 = 10
- Y por último nos queda la operación  de sumar: 6 + 10 = 16
6 + (8 – 3) × 2 = 6 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16


* Si tenemos potencias o raíces en una operación combinada debemos resolverlas antes para poder realizar cualquier operación.

Explicación
Vídeo explicativo con ejemplos
Problemas de operaciones combinadas
Ejercicios de operaciones combinadas
Práctica
Práctica 2
Práctica 3
Práctica problemas
Juego operaciones combinadas
Operaciones combinadas - cálculo mental
Juego sencillo operaciones combinadas


PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Propiedad conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.
El resultado de multiplicar 10 x 3 será igual que al multiplicar 3 x 10. Aunque cambiemos el orden de los factores el resultado seguirá siendo 30.

Propiedad asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado de la multiplicación.
(3x2)x5=3x(2x5)
Nos dará el mismo resultado si multiplicamos 3 x 2 y después lo multiplicamos por 5, que si multiplicamos 2 x 5 y después lo multiplicamos por 3.

Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Propiedad distributiva
La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
Según la propiedad distributiva 2 x (3 + 5) será igual a 2 x 3 + 2 x 5
2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16
2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16

Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
Si tenemos la operación (2 x 7) + (3 x 7), que tiene como factor común el 7, podríamos transformar esta operación en 7 x (2 + 3).
Comprobemos que da el mismo resultado:
(2 x 7) + (3 x 7) = 14 + 21 = 35
7 x (2 + 3) = 7 x 5 = 35

Vídeo explicativo
Refuerzo propiedades de la multiplicación

POTENCIAS
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. Las potencias sirven para escribir una multiplicación formada por varios números iguales de una manera más simplificada.
* Si el exponente es 1, el resultado de la potencia es siempre la base.

* Si el exponente es 0, el resultado de la potencia es 1.

POTENCIAS DE BASE 10
El valor de una potencia de base 10 es igual a 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente.

10*3=1000

Descomposición polinómica de un número

Descomponemos el número según el valor posicional de sus cifras y expresamos la descomposición mediante potencias de base 10.

RAÍZ CUADRADA
Para hallar la raíz cuadrada de un número buscamos, un número que multiplicado por si mismo obtengamos como resultado el primer número. Es decir, la raíz cuadrada de un número es otro número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero.

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros abarcan a los números naturales o positivos (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor).

Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

REGLAS PARA OPERAR CON NÚMEROS ENTEROS:

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

1. Sacamos los paréntesis siguiendo las reglas de los signos.

2. Si los signos de los números son iguales, se pone el mismo signo y se suman los valores.

3. Si los signos de los números son diferentes, se resta el valor mayor al menor y ponemos el signo del mayor.

-4 + (-8) = -4 -8 = -12

+46 - (-5) = +46 + 5 = +51

-9 + (-6) = -9 -6 = -15

+15 + (-3) = +15 -3 = +12

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Se pone el signo que corresponda según las reglas de los signos.

2. Se multiplican o dividen los valores de forma habitual.

(-3)  ∙ (+8) = -24

(-12) . (-4) = +48

(+24) : (-4) = -6

REGLA DE TRES
La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos.

Esta relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa.


A ---- B
C ---- x


Será directa cuando a un mayor valor de A le corresponda también un mayor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un menor valor de B), y será inversa, cuando a un mayor valor de A le corresponda un menor valor de B (o a un menor valor de A le corresponda un mayor valor de B).

DIRECTA: 

INVERSA:


Ejemplos:






PORCENTAJES
El porcentaje nos dice qué parte de un total representa una cantidad. Y lo hace representando el total por el valor 100 y calculando de esos 100 cuanto correspondería a la cantidad que estamos analizando.

Calcular el porcentaje de una cantidad:

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica dicha cantidad por el porcentaje y se divide por 100.


El 20% de 50 = (50 x 20) / 100 = 10